Анализ зависимости между уровня комплемента в крови больных системной красной волчанкой и степенью тяжести поражения почек

2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок

Для проверки совпадений нескольких средних часто применяется непараметрический критерий, свободный от распределения. Его можно использовать, когда рассматриваемые совокупности не являются нормально распределенными [7].

Статистическая модель

Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы.

Гипотезы

Н₀ : все k совокупностей одинаково распределены.

Н₁ : нулевая гипотеза не верна.

Критическая область

Верхняя 5%-ная область распределения ²_k_-1.В нашем случае ²₄ , что соответствует значению критерия , превышающему 9,49. Данное число взято из Таблицы А.2 на стр. 331 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Полларда. [6]

Вычисление значения критериальной статистики

Для этого наблюдения x_ij заменяются их рангами r_ij .Все n наблюдений упорядоченны по возрастанию от 1 до n. Находим сумму рангов R₁, R₂,…, R_k для k групп. Вычисляем критерий [4]:

H= ( R²₁/n₁+….+ R²_k/n_k ) - 3 ( N + 1 )

Значения комплемента упорядочены по возрастанию. Они иногда совпадают, тогда ранг принимает среднее значение.

Далее, используя Таблицу №1, присваиваем каждому значению комплемента соответствующий ранг в данных пяти выборках и получаем сумму рангов [5] .

Таблица №3. Таблица рангов наблюдений.

Нет нефрита Выборка объема n₁ = 210	Слабый нефрит Выборка объема n₂ = 101	Средний нефрит Выборка объема n₃ = 98	Нефротический синдром Выборка объема n₄ = 45	Почечная недостаточность Выборка объема n₅ = 25
УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг
36	282	11	45	7	33	10	39	20	86
38	315,5	35	264	27	144,5	5	28,5	20	86
40	352,5	37	296,5	6	31,5	6	31,5	21	95,5
31	188,5	15	59,5	5	28,5	15	59,5	24	115
33	220	40	352,5	40	352,5	20	86	3	26
33,8	242	0	13	5	28,5	25	126,5	12	50
37	296,5	33	220	45	405,5	28	28	10	39
38	315,5	33	220	45	405,5	32	197,5	0	13
33	220	5	28,5	46	420,5	46	420,5	18,2	77
37	296,5	40	352,5	45	405,5	33	220	46	420,5
48	436,5	25	126,5	24	115	44	396,5	10	39
40	352,5	33	220	24	115	25	126,5	0	13
42	375,5	50	453,5	43	383	22,5	105,5	20	86
35	264	25	126,5	24,5	119,5	24,5	119,5	30,4	181,5
15	59,5	20	86	20,5	92	38	315,5	0	13
35	264	50	453,5	9	34	12	50	33,3	231
48	436,5	50	453,5	12	50	54,7	471	14,7	56
45	405,5	18	74,5	32	197,5	20,7	94	34,1	247
38	315,5	20	86	43	383	0	13	22,4	102,5
15	59,5	33	220	35,5	273,5	26,1	137,5	17,8	72
13	53	43	383	44	396,5	11	45	33,5	237
40	352,5	10	39	50	453,5	11,7	47	29,6	171
40	352,5	12	50	34	244,5	34,4	252,5	13,6	54,5
38	315,5	23	110	12	50	0	13	35	264
32,7	210	34	244,5	0	13	0	13	37	296,5
60	478	30	176,5	25,1	132,5	42	375,5
50	453,5	35	264	22,5	105,5	32,3	204
51	462,5	22	99,5	31	188,5	16	68
45	405,5	22,2	101	33	220	32,5	207
25	26,5	20	86	41,9	373	39,3	345,5
33	220	21	95,5	41,7	371	40,2	359
33	220	22	99,5	37,1	299	0	13
39	334	10	39	33,4	233	39,1	337
35,8	278,5	37,4	304,5	33	220	37,7	306,5
41,7	371	22,4	102,5	34,3	250	33,5	237
38,2	323	35	264	33	220	43,8	393,5
37,4	304,5	37,3	302,5	36,9	293	16	68
10	39	39,6	346	41	365	16	68
37,9	309,5	0	13	33	220	31	188,5
39,3	343,5	32,8	211	32,15	202	52	465
37,2	301	24	115	38,8	332	51	462,5
37,8	308	25	126,5	48,1	439	33,5	237
49,1	445	38	315,5	0	13	48	436,5
36,15	286	29	165	0	13	27	144,5
43,8	393,5	32	197,5	26,6	141	48	436,5
40	352,5	32	197,5	52,8	470
40	352,5	20	86	27	144,5
36	282	32,3	204	13,6	54,5
45	405,5	10	39	10	39
43,5	390,5	33,9	243	19,5	79
35	264	45,74	417	51,2	464
35	264	0	13	40,4	362,5
19,5	79	49,1	445	46,05	424
24,2	118	38	315,5	0	13
33	220	0	13	25,2	134
40,4	362,5	43,5	390,5	28	152,5
30	176,5	32,3	204	27	144,5
36	282	41	365	35	264
10	39	40	352,5	29	165
25	126,5	29,7	172	50	453,5
30	176,5	30	176,5	20	86
32	197,5	27,6	149	0	13
31	188,5	21,4	98	15,6	64,5
45	405,5	23	110	35	264
20	86	34,3	250	0	13
45	405,5	18	74,5	46	425
15	59,5	50,4	461	59,2	475
30,4	181,5	48,2	440,5	0	13
50	453,5	37,3	302,5	22,5	105,5
46	420,5	35	264	0	13
35	264	25	126,5	24	115
15	59,5	20	86	45	405,5
18	74,5	38	315,5	28,9	161,5
28	152,5	47,5	432,5	30,5	183
36,7	291	37,9	309,5	45,5	414
47,8	434	40,3	360,5	43	383
39,2	341	60	478	34,7	255,5
36,5	287	34,1	247	32,6	208,5
32	197,5	46,7	427,5	38,4	325
45,7	415,5	39	334	37,15	300
46,9	429	31,4	192	39	334
15,6	64,5	32	197,5	52,15	466
34,1	247	42	375,5	52,2	467,5
44,7	399	43,8	393,5	0	13
26,5	139,5	39,1	337	0	13
36,6	289	16	68	0	13
30,3	180	26,5	139,5	33	220
47	430,5	43	383	43	383
50	453,5	36,9	293	46,6	426
52,2	467,5	29,4	168,5	59,3	476
38,5	327	30,6	184	0	13
41	365	35,6	276	15,5	63
40	352,5	38,7	331	21,2	97
45	405,5	38,2	323	22,8	108
25,5	135	26,1	137,5	28,3	156
27,7	150	43,2	388	28,15	155
22,5		46	420,5	38,5	327
45	105,5	35,6	276	26	136
33	220	32,4	206
48,3	442	50	453,5
47,5	432,5	50	453,5
32	197,5
50	453,5
35,6	276
33,5	237
56,9	473
28,9	161,5
40	352,5
35,2	271
42,5	378
50	453,5
46,2	425
52,7	469
49,1	445
38	315,5
33,7	241
32,6	208,5
30	176,5
28,9	161,5
44,4	398
48,2	440,5
38,15	321
42	375,5
28,4	157
33,5	237
39,4	345
38,6	329,5
34,3	250
37,7	306,5
27,3	148
39,2	341
29,2	167
39,2	341
33,5	237
18	74,5
31,2	191
23,4	112
36,9	293
57,3	474
45	405,5
45,3	413
16,5	71
34,9	257
43,1	387
30,8	185,5
0	13
34,5	254
28	152,5
16	68
28,9	161,5
23	110
27	144,5
41,6	369
43,4	389
36	282
49	443
25	126,5
41,5	368
35,5	273,5
35	264
33,1	229
41,7	371
39,15	339
30,8	185,5
45,7	415,5
35,4	272
35,8	278,5
27	144,5
19,5	79
29,4	168,5
33,3	231
36,6	289
42,6	379
30	176,5
36,1	285
43	383
33,3	231
28,7	158,5
28,7	158,5
45,1	412
31,8	193
33	220
39,1	337
29	165
46,7	427,5
41,05	367
29,9	173
50	453,5
47	430,5
34,4	252,5
11	45
20,6	93
36,6	289
38,6	289
29,48	170
25	126,5
0	13
38	315,5
34,7	255,5
38,2	323
43,8	393,5
40,3	360,5
38,5	327
60	478
50	453,5
36	282
55	472
33,5	237
25,1	132,5
24,8	121
Всего:	R₁= 57877		R₂= 23298.5		R₃= 21259.5		R₄= 8789		R₅= 3072

N = 479	k = 5
R₁ = 57877	n₁ = 210
R₂ = 23298,5	n₂ = 101
R₃ = 21259,5	n₃ = 98
R₄ = 8789	n₄ = 45
R₅ = 3072	n₅= 25

Теперь можно полученные суммы рангов подставить в формулу и получить значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса [4] :

Н=23,03

Полученный результат не является незначимым, поэтому нельзя считать, что выборки извлечены из одинаково распределенных совокупностей и что средние значения совокупностей совпадают. Но этот вывод является приближенным, так как в нашей таблице есть много совпадающих значений. Для учета влияния связей можно воспользоваться модифицированной формой статистики Краскела-Уоллиса [4]:

Н^` =

, где g - число групп совпадающих значений, Т_j= (t - t), t- число совпадающих наблюдений в группе с номером j .

Таблица №4. Группы совпадающих наблюдений.

Повторяющиеся значения УК	Кол-во повторений t _j	Значение T_j
0	25	15600
5	4	60
6	2	6
10	9	720
11	3	24
12	5	120
13,6	2	6
15	6	210
15,6	2	6
16	5	120
18	4	60
19,5	3	24
20	11	1320
21	2	6
22	2	6
22,4	2	6
22,5	4	60
23	3	24
24	5	120
24,5	2	6
25	10	990
25,1	2	6
26,1	2	6
26,5	2	6
27	6	210
28	4	60
28,7	2	6
28,9	4	60
29	3	24
29,4	2	6
30	6	210
30,4	2	6
30,8	2	6
31	4	60
32	8	504
32,3	3	24
32,6	2	6
33	17	4896
33,3	3	24
33,5	7	336
34	2	6
34,1	3	24
34,3	3	24
34,4	2	6
34,7	2	6
35	13	2184
35,5	2	6
35,6	3	24
35,8	2	6
36	5	120
36,6	3	24
36,9	3	24
37	4	60
37,3	2	6
37,4	2	6
37,7	2	6
37,9	2	6
38	10	990
38,2	3	24
38,5	3	24
38,6	2	6
39	3	24
39,1	3	24
39,2	3	24
39,3	2	6
40	12	1716
40,3	2	6
40,4	2	6
41	3	24
41,7	3	24
42	4	60
43	7	336
43,5	2	6
43,8	4	60
44	2	6
45	12	1716
45,7	2	6
46	6	210
46,7	2	6
47	2	6
47,5	2	6
48	4	60
48,2	2	6
49,1	3	24
50	14	2730
51	2	6
52,2	2	6
60	3	24

g = 88

Теперь можно полученные результаты подставить в модифицированную формулу и получить уточненное значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса :

Н^` = 23,037

Вывод. Скорректированное значение Н^` статистики Краскела-Уоллиса несущественно отличается от значения Н, т.о. мы можем отвергнуть гипотезу Н₀ на минимальном уровне значимости. Следовательно , мы подтвердили результат полученный ранее : существует зависимость между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек .

Содержание