Анализ зависимости между уровня комплемента в крови больных системной красной волчанкой и степенью тяжести поражения почек

курсовая работа

2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок

Для проверки совпадений нескольких средних часто применяется непараметрический критерий, свободный от распределения. Его можно использовать, когда рассматриваемые совокупности не являются нормально распределенными [7].

Статистическая модель

Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы.

Гипотезы

Н0 : все k совокупностей одинаково распределены.

Н1 : нулевая гипотеза не верна.

Критическая область

Верхняя 5%-ная область распределения 2k-1. В нашем случае 24 , что соответствует значению критерия , превышающему 9,49. Данное число взято из Таблицы А.2 на стр. 331 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Полларда. [6]

Вычисление значения критериальной статистики

Для этого наблюдения xij заменяются их рангами rij .Все n наблюдений упорядоченны по возрастанию от 1 до n. Находим сумму рангов R1, R2,…, Rk для k групп. Вычисляем критерий [4]:

H= ( R21/n1 +….+ R2k/nk ) - 3 ( N + 1 )

Значения комплемента упорядочены по возрастанию. Они иногда совпадают, тогда ранг принимает среднее значение.

Далее, используя Таблицу №1, присваиваем каждому значению комплемента соответствующий ранг в данных пяти выборках и получаем сумму рангов [5] .

Таблица №3. Таблица рангов наблюдений.

Нет

нефрита

Выборка объема n1 = 210

Слабый

нефрит

Выборка объема

n2 = 101

Средний

нефрит

Выборка объема

n3 = 98

Нефротический синдром

Выборка объема

n4 = 45

Почечная недостаточность

Выборка объема

n5 = 25

УК

Ранг

УК

Ранг

УК

Ранг

УК

Ранг

УК

Ранг

36

282

11

45

7

33

10

39

20

86

38

315,5

35

264

27

144,5

5

28,5

20

86

40

352,5

37

296,5

6

31,5

6

31,5

21

95,5

31

188,5

15

59,5

5

28,5

15

59,5

24

115

33

220

40

352,5

40

352,5

20

86

3

26

33,8

242

0

13

5

28,5

25

126,5

12

50

37

296,5

33

220

45

405,5

28

28

10

39

38

315,5

33

220

45

405,5

32

197,5

0

13

33

220

5

28,5

46

420,5

46

420,5

18,2

77

37

296,5

40

352,5

45

405,5

33

220

46

420,5

48

436,5

25

126,5

24

115

44

396,5

10

39

40

352,5

33

220

24

115

25

126,5

0

13

42

375,5

50

453,5

43

383

22,5

105,5

20

86

35

264

25

126,5

24,5

119,5

24,5

119,5

30,4

181,5

15

59,5

20

86

20,5

92

38

315,5

0

13

35

264

50

453,5

9

34

12

50

33,3

231

48

436,5

50

453,5

12

50

54,7

471

14,7

56

45

405,5

18

74,5

32

197,5

20,7

94

34,1

247

38

315,5

20

86

43

383

0

13

22,4

102,5

15

59,5

33

220

35,5

273,5

26,1

137,5

17,8

72

13

53

43

383

44

396,5

11

45

33,5

237

40

352,5

10

39

50

453,5

11,7

47

29,6

171

40

352,5

12

50

34

244,5

34,4

252,5

13,6

54,5

38

315,5

23

110

12

50

0

13

35

264

32,7

210

34

244,5

0

13

0

13

37

296,5

60

478

30

176,5

25,1

132,5

42

375,5

50

453,5

35

264

22,5

105,5

32,3

204

51

462,5

22

99,5

31

188,5

16

68

45

405,5

22,2

101

33

220

32,5

207

25

26,5

20

86

41,9

373

39,3

345,5

33

220

21

95,5

41,7

371

40,2

359

33

220

22

99,5

37,1

299

0

13

39

334

10

39

33,4

233

39,1

337

35,8

278,5

37,4

304,5

33

220

37,7

306,5

41,7

371

22,4

102,5

34,3

250

33,5

237

38,2

323

35

264

33

220

43,8

393,5

37,4

304,5

37,3

302,5

36,9

293

16

68

10

39

39,6

346

41

365

16

68

37,9

309,5

0

13

33

220

31

188,5

39,3

343,5

32,8

211

32,15

202

52

465

37,2

301

24

115

38,8

332

51

462,5

37,8

308

25

126,5

48,1

439

33,5

237

49,1

445

38

315,5

0

13

48

436,5

36,15

286

29

165

0

13

27

144,5

43,8

393,5

32

197,5

26,6

141

48

436,5

40

352,5

32

197,5

52,8

470

40

352,5

20

86

27

144,5

36

282

32,3

204

13,6

54,5

45

405,5

10

39

10

39

43,5

390,5

33,9

243

19,5

79

35

264

45,74

417

51,2

464

35

264

0

13

40,4

362,5

19,5

79

49,1

445

46,05

424

24,2

118

38

315,5

0

13

33

220

0

13

25,2

134

40,4

362,5

43,5

390,5

28

152,5

30

176,5

32,3

204

27

144,5

36

282

41

365

35

264

10

39

40

352,5

29

165

25

126,5

29,7

172

50

453,5

30

176,5

30

176,5

20

86

32

197,5

27,6

149

0

13

31

188,5

21,4

98

15,6

64,5

45

405,5

23

110

35

264

20

86

34,3

250

0

13

45

405,5

18

74,5

46

425

15

59,5

50,4

461

59,2

475

30,4

181,5

48,2

440,5

0

13

50

453,5

37,3

302,5

22,5

105,5

46

420,5

35

264

0

13

35

264

25

126,5

24

115

15

59,5

20

86

45

405,5

18

74,5

38

315,5

28,9

161,5

28

152,5

47,5

432,5

30,5

183

36,7

291

37,9

309,5

45,5

414

47,8

434

40,3

360,5

43

383

39,2

341

60

478

34,7

255,5

36,5

287

34,1

247

32,6

208,5

32

197,5

46,7

427,5

38,4

325

45,7

415,5

39

334

37,15

300

46,9

429

31,4

192

39

334

15,6

64,5

32

197,5

52,15

466

34,1

247

42

375,5

52,2

467,5

44,7

399

43,8

393,5

0

13

26,5

139,5

39,1

337

0

13

36,6

289

16

68

0

13

30,3

180

26,5

139,5

33

220

47

430,5

43

383

43

383

50

453,5

36,9

293

46,6

426

52,2

467,5

29,4

168,5

59,3

476

38,5

327

30,6

184

0

13

41

365

35,6

276

15,5

63

40

352,5

38,7

331

21,2

97

45

405,5

38,2

323

22,8

108

25,5

135

26,1

137,5

28,3

156

27,7

150

43,2

388

28,15

155

22,5

46

420,5

38,5

327

45

105,5

35,6

276

26

136

33

220

32,4

206

48,3

442

50

453,5

47,5

432,5

50

453,5

32

197,5

50

453,5

35,6

276

33,5

237

56,9

473

28,9

161,5

40

352,5

35,2

271

42,5

378

50

453,5

46,2

425

52,7

469

49,1

445

38

315,5

33,7

241

32,6

208,5

30

176,5

28,9

161,5

44,4

398

48,2

440,5

38,15

321

42

375,5

28,4

157

33,5

237

39,4

345

38,6

329,5

34,3

250

37,7

306,5

27,3

148

39,2

341

29,2

167

39,2

341

33,5

237

18

74,5

31,2

191

23,4

112

36,9

293

57,3

474

45

405,5

45,3

413

16,5

71

34,9

257

43,1

387

30,8

185,5

0

13

34,5

254

28

152,5

16

68

28,9

161,5

23

110

27

144,5

41,6

369

43,4

389

36

282

49

443

25

126,5

41,5

368

35,5

273,5

35

264

33,1

229

41,7

371

39,15

339

30,8

185,5

45,7

415,5

35,4

272

35,8

278,5

27

144,5

19,5

79

29,4

168,5

33,3

231

36,6

289

42,6

379

30

176,5

36,1

285

43

383

33,3

231

28,7

158,5

28,7

158,5

45,1

412

31,8

193

33

220

39,1

337

29

165

46,7

427,5

41,05

367

29,9

173

50

453,5

47

430,5

34,4

252,5

11

45

20,6

93

36,6

289

38,6

289

29,48

170

25

126,5

0

13

38

315,5

34,7

255,5

38,2

323

43,8

393,5

40,3

360,5

38,5

327

60

478

50

453,5

36

282

55

472

33,5

237

25,1

132,5

24,8

121

Всего:

R1=

57877

R2=

23298.5

R3=

21259.5

R4=

8789

R5=

3072

N = 479

k = 5

R1 = 57877

n1 = 210

R2 = 23298,5

n2 = 101

R3 = 21259,5

n3 = 98

R4 = 8789

n4 = 45

R5 = 3072

n5 = 25

Теперь можно полученные суммы рангов подставить в формулу и получить значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса [4] :

Н=23,03

Полученный результат не является незначимым, поэтому нельзя считать, что выборки извлечены из одинаково распределенных совокупностей и что средние значения совокупностей совпадают. Но этот вывод является приближенным, так как в нашей таблице есть много совпадающих значений. Для учета влияния связей можно воспользоваться модифицированной формой статистики Краскела-Уоллиса [4]:

Н` =

, где g - число групп совпадающих значений, Тj = (t - t), t- число совпадающих наблюдений в группе с номером j .

Таблица №4. Группы совпадающих наблюдений.

Повторяющиеся значения УК

Кол-во повторений t j

Значение Tj

0

25

15600

5

4

60

6

2

6

10

9

720

11

3

24

12

5

120

13,6

2

6

15

6

210

15,6

2

6

16

5

120

18

4

60

19,5

3

24

20

11

1320

21

2

6

22

2

6

22,4

2

6

22,5

4

60

23

3

24

24

5

120

24,5

2

6

25

10

990

25,1

2

6

26,1

2

6

26,5

2

6

27

6

210

28

4

60

28,7

2

6

28,9

4

60

29

3

24

29,4

2

6

30

6

210

30,4

2

6

30,8

2

6

31

4

60

32

8

504

32,3

3

24

32,6

2

6

33

17

4896

33,3

3

24

33,5

7

336

34

2

6

34,1

3

24

34,3

3

24

34,4

2

6

34,7

2

6

35

13

2184

35,5

2

6

35,6

3

24

35,8

2

6

36

5

120

36,6

3

24

36,9

3

24

37

4

60

37,3

2

6

37,4

2

6

37,7

2

6

37,9

2

6

38

10

990

38,2

3

24

38,5

3

24

38,6

2

6

39

3

24

39,1

3

24

39,2

3

24

39,3

2

6

40

12

1716

40,3

2

6

40,4

2

6

41

3

24

41,7

3

24

42

4

60

43

7

336

43,5

2

6

43,8

4

60

44

2

6

45

12

1716

45,7

2

6

46

6

210

46,7

2

6

47

2

6

47,5

2

6

48

4

60

48,2

2

6

49,1

3

24

50

14

2730

51

2

6

52,2

2

6

60

3

24

g = 88

Теперь можно полученные результаты подставить в модифицированную формулу и получить уточненное значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса :

Н` = 23,037

Вывод. Скорректированное значение Н` статистики Краскела-Уоллиса несущественно отличается от значения Н, т.о. мы можем отвергнуть гипотезу Н0 на минимальном уровне значимости. Следовательно , мы подтвердили результат полученный ранее : существует зависимость между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек .

Делись добром ;)