3.1 Стационарный случайный процесс

Важным классом случайных процессов являются стационарные процессы. Свойство стационарности означает независимость некоторых характеристик сечений процесса от времени. Конечно, для реальных процессов это условие весьма ограничительно, однако оно выполняется довольно часто, если рассматривать процесс на достаточно коротком интервале времени, в течение которого вероятностные характеристики процесса изменяются мало.

Итак случайный процесс , называют стационарным в узком смысле, если для любых , , и совместное распределение случайных величин одно и то же для всех , таких что, , . То есть, для функции распределения случайного процесса:

Или, что то же самое, для функции плотности вероятностей случайного процесса:

Если стационарный в узком смысле случайный процесс , имеет моменты первого и второго порядка, то его математическое ожидание - постоянно, а ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов:

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание - постоянно, а ковариационная функция зависит от разности аргументов:

Таким образом из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

В той мере, в какой теория случайных процессов отражает явления реального мира, понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает.

ЭЭГ является нестационарным процессом, но короткие ее сегменты по отдельности могут считаться стационарными. То есть можно ввести математическую модель электроэнцефалограммы, как объединение реализаций набора стационарных случайных процессов.