3. Метод сетевого планирования и управления

Процесс управления значительно облегчается, если управляющую систему представить в виде сетевой модели. Под такой моделью следует понимать сетевой график, составленный таким образом, чтобы он отражал при заданных условиях весь ход событий вплоть до достижения конечной цели. При этом, естественно, составленная модель должна быть адекватной моделируемой системе, т.е. должна наиболее полно отражать ее состояние и все последующие изменения. Правильное построение модели обеспечивает успех планирования и является одной из самых сложных задач моделирования. Сетевая модель (граф) – наиболее удобная и универсальная модель. Она дает обозримую информацию о ходе выполнения процессов (работ).

Система сетевого планирования и управления (СПУ) охватывает три основных этапа планирования и управления. На первом этапе производится разработка первоначального сетевого графика, на втором – его оптимизация и приведение в соответствие с заданными ограничениями, на третьем этапе осуществляется оперативное управление и систематический контроль за ходом выполнения плана.

Сетевой график состоит из двух типов основных элементов: работ и событий [Абчук В.А. и др., 1972].

Работа представляет собой выполнение некоторого мероприятия (например, погрузка или транспортировка груза). Этот элемент сетевого графика связан с затратой времени и расходом ресурсов. Поэтому работа всегда имеет начало и конец. Кроме того, каждая работа должна иметь определение, раскрывающая ее содержание (например, оформление документов на груз, подготовка транспортного средства и т.д.).

На сетевом графике работа изображается стрелкой, над которой проставляется ее продолжительность или затрачиваемые ресурсы или то и другое одновременно (рис. 135 – [Абчук В.А. и др., 1972]). Работа, отражающая только зависимость одного мероприятия от другого, называется фиктивной работой. Такая работа имеет нулевую продолжительность (или нулевой расход ресурсов) и обозначается пунктирной стрелкой.

Начальная и конечная точки работы, т.е. начало и окончание некоторого мероприятия (например, окончание погрузки), называются событиями.

Следовательно, событие в отличие от работы не является процессом и не сопровождается никакими затратами времени или ресурсов.

Событие, следующее непосредственно за данной работой, называется последующим событием по отношению к рассматриваемой работе. Событие, непосредственно предшествующее рассматриваемой работе, называется предшествующим.

Наименование предшествующий и последующий относятся также и к работам. Каждая входящая в данное событие работа считается предшествующей каждой выходящей работе, и, наоборот, каждая выходящая работа считается последующей для каждой входящей.

Из определения отношения «предшествующий – последующий» вытекают свойства сетевого графика.

Во-первых, ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы. Во-вторых, ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие. В-третьих, ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие. И, наконец, ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей.

Событие обозначается кружком с цифрой внутри, определяющей его номер (рис. 135).

Из всех событий, входящих в планируемый процесс, можно выделить два специфических – событие начала процесса, получившее название исходного события, которому присваивается нулевой номер, и событие конца процесса (завершающее событие), которому присваивается последний номер. Остальные события нумеруются так, чтобы номер предыдущего события был меньше номера последующего.

Для нумерации событий применяется следующий способ [Абчук В.А. и др., 1972]. Вычеркиваются все работы, выходящие из события № 0, и просматриваются все события, в которых оканчиваются эти вычеркнутые работы. Среди просмотренных находятся события, которые не имеют входящих в них работ (за исключением уже вычеркнутых). Они называются событиями первого ранга и обозначаются числами натурального ряда, начиная с единицы (на рис. 135 это событие № 1). Затем вычеркиваются все работы, выходящие из событий первого ранга, и среди них находятся события, не имеющие входящих работ (кроме вычеркнутых). Это – события второго ранга, которые нумеруются следующими числами натурального ряда (например, 2 и 3 на рис. 135). Проделав таким способом k-1 шаг, определяют события (k-1)-го ранга. Затем, вычеркивая все работы, выходящие из событий (k-1)-го ранга, и просматривая события, в которых эти работы заканчиваются, выбирают события, не имеющие ни одной входящей в них работы (кроме вычеркнутых). Это события k-го ранга, и нумеруются они последовательными числами натурального ряда, начиная с наименьшего, еще не использованного числа при предыдущей нумерации на (k-1)-м шаге.

Сетевой график содержит конечное число событий. Поскольку в процессе вычеркивания движение осуществляется в направлении стрелок (работ), поэтому никакое предшествующее событие не может получить номер, больший, чем любое последующее; всегда найдется хотя бы одно событие соответствующего ранга, и все события получат номера за конечное число шагов.

Работа обычно кодируется номерами событий, между которыми они заключены, т.е. парой (i, j), где i – номер предшествующего события, j – номер последующего события.

В одно и то же событие могут входить (выходить) одна или несколько работ. Поэтому свершение события зависит от завершения самой длительной из всех входящих в него работ.

Взаимосвязь между работами определяется тем, что начало последующей работы обусловлено окончанием предыдущей. Отсюда следует, что нет работ, не связанных своим началом и окончанием с другими работами через события.

Последовательные работы и события формируют цепочки (пути), которые ведут от исходного к завершающему событию сетевого графика. Например, путь 0-1-2-3-4-5-6-7 сетевого графика, показанного на рис. 135, включает в себя события 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и работы (0-1), (1-2), (2-5), (5-6), (6-7).

На основании изложенного можно сказать, что ранг события – это максимальное число отдельных работ, входящих в какой-либо из путей, ведущих из нулевого (исходного) события в данное. Так, события первого ранга не имеют путей, состоящих более чем из одной работы, ведущих в них из 0 (например, событие 1 на рис. 135). События второго ранга связаны с 0 путями, которые состоят не более чем из двух работ, причем для каждого события второго ранга хоть один такой путь обязательно существует. Например, на рис. 135 событие 4 – событие третьего ранга, так как пути, ведущие в это событие из 0, включают только три работы – (0-1), (1-3) и (3-4) или (0-1), (1-2) и (2-4).

Построенный таким образом сетевой график в терминах теории графов представляет собой направленный граф.

Графом называется множество точек, соединенных линиями. Точки, называемые вершинами графа, обозначают объекты или события, а линии, называемые дугами или ребрами графа, - отношения между ними.

Граф называется несвязным, если множество его вершин можно разделить на два подмножества таким образом, чтобы не существовала ни одна дуга, соединяющая вершины разных подмножеств. В противном случае граф называют связным. Каждой дуге графа может быть задано направление, указанное стрелкой. Такой граф называется ориентированным. При этом если каждая пара вершин соединена парой противоположно ориентированных дуг, то такой граф называется симметричным. Если граф ориентирован, но не содержит кратных дуг и является связным, то он называется асимметричным.

Последовательность ориентированных дуг, начало каждой последующей из которых совпадает с концом предыдущей, называется путем на графе. Вершина асимметричного графа, в которую не входит ни одна дуга, называется истоком, а вершина, из которой не выходит ни одна дуга, называется стоком. Замкнутый путь на ориентированном графе называется циклом.

Граф, не содержащий циклов и имеющий только один исток и только один сток, называется направленным графом.

Таким образом, сетевой график есть ориентированный связный асимметрический граф с одним истоком, одним стоком и без циклов, т.е. направленный граф. При этом вершинами графа служат события сетевого графика, а дугами (ребрами) – работы сетевого графика.

Продолжительность работы представляет собой (в терминах теории графа) длину дуги. Следовательно, длина пути Т – это сумма длин всех дуг, образующих данный путь, т.е. [Абчук В.А. и др., 1972]

Т =    Σ   t_i,j  ,

t_i,jТ

где символом t_i,j обозначается дуга, которая соединяет вершины i и j и направлена от вершины i к вершине j.

Обычно сетевой график строится от исходного события к завершающему, слева направо, т.е. каждое последующее событие изображается несколько правее предыдущего.

После построения сетевого графика проверяется отсутствие работ, имеющих одинаковые коды. При наличии таких работ вводятся дополнительные события и фиктивные работы. Кроме того, сетевой график должен содержать только одно исходное событие и только одно завершающее событие. Если эти условия не выполнены, то необходимо добавить еще одно исходное событие и соединить его стрелками с имеющимися несколькими начальными событиями или добавить еще одно конечное событие, к которому проводят стрелки от нескольких имеющихся конечных событий.

Сетевой график не должен иметь так называемых циклов, т.е. таких путей, в которых конец последней работы совпадает с началом первой работы. Сетевой график, имеющий хотя бы один цикл, не может быть реализован, так как ни одна из работ, входящих в такой цикл, никогда не может начаться.

Сетевой график дает возможность оценить значимость тех или иных мероприятий планируемого процесса и ответить на вопрос: от каких мероприятий зависит и от каких не зависит выполнение любого мероприятия? Более того, с помощью сетевого графика можно установить, какие мероприятия необходимо выполнить в первую очередь, какие можно выполнять параллельно, а какие - нельзя. Однако этого недостаточно для выработки решений. Как правило, нужно оценить также ожидаемую продолжительность выполнения планируемого процесса. Для этого проводится анализ сетевой модели.

Параметрами сетевой модели являются [Абчук В.А. и др., 1972]:

        наиболее раннее возможное время наступления j-го события – T_p(j);

        самое позднее допустимое время наступления i-го события – T_п(i);

        резерв времени данного события - R_i;

        полный резерв времени работы (i, j) - r_п(i, j);

        свободный резерв времени работы (i, j) – r_с(i, j).

Наиболее раннее возможное время наступления j-го события определяется формулой [Абчук В.А. и др., 1972]:

T_p(j) = max {T_p(i) + t_ij},     (1)

iS^-1_j

где t_ij – продолжительность (i, j)-й работы;

S^-1_j множество событий, предшествующих j-му событию.

Вычисления по формуле (1) выполняются шаг за шагом, двигаясь в порядке нумерации событий. Например, для сетевого графика, приведенного на рис. 135, применяя формулу (1), получим [Абчук В.А. и др., 1972]:

T_p(0) = 0;

T_p(1) = T_p(0) + 4 = 4;

T_p(2) = T_p(1) + 8 = 12;

T_p(3) = T_p(1) + 4 = 8;

T_p(4) = max [(T_p(2) + 12), (T_p(3) + 24)] = 32;

T_p(5) = max [(T_p(2) + 4), (T_p(4) + 4)] = 36;

T_p(6) = max [(T_p(4) + 4), (T_p(5) + 8)] = 44;

T_p(7) = T_p(6) + 4 = 48.

Самое позднее допустимое время наступления события i определяют с помощью аналогичной формулы, но обращаясь не к предшествующим, а к последующим событиям, т.е. [Абчук В.А. и др., 1972]

T_п(i) = max {T_п(j) - t_ij},     (2)

jS_i

где S_i – множество событий, следующих за i-м событием.

Для определения T_п(i) по формуле (2) надо двигаться от конечного события n к исходному событию 0, при этом T_п(n) = T_p(n). Для примера обратимся к сетевому графику, показанному на рис. 135.

T_п(7) = 48;

T_п(6) = T_п(7) - 4 = 44;

T_п(5) = T_п(6) - 8 = 36;

T_п(4) = min [(T_п(6) - 4), (T_п(5) - 4)] = 32;

T_п(3) = T_п(4) - 24 = 8;

T_п(2) = min [(T_п(4) - 12), (T_п(5) - 4)] = 20;

T_п(1) = min [(T_п(3) - 4), (T_п(2) - 8)] = 4;

T_п(0) = T_п(1) - 4 = 0.

Резервом времени данного события называется разность между T_п(i) и T_р(i), которая вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

R_i = T_п(i) - T_р(i)      (3)

В нашем примере R₀ = 0; R₁ = 0; R₂ = 8; R₃ = 0; R₄ = 0; R₅ = 0; R₆ = 0; R₇ = 0.

Из примера видно, что резервы времени всех событий, кроме события 2, равны нулю.

Полный резерв времени работы (i, j) вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

r_п(i, j) = T_п(j) - T_р(i) - t_ij .      (4)

Свободный резерв времени работы (i, j) вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

r_с(i, j) = T_p(j) - T_п(i) - t_ij .      (5)

В примере полные резервы времени соответственно равны:

r_п(0,1) = 4 – 0 - 4 = 0;                 r_п(2,4) = 32 – 12 - 12 = 8;

r_п(1,2) = 20 – 4 - 8 = 8;               r_п(4,5) = 36 – 32 - 4 = 0;

r_п(2,5) = 36 – 12 - 4 = 20;           r_п(1,3) = 8 – 4 - 4 = 0;

r_п(5,6) = 44 – 36 - 8 = 0;             r_п(3,4) = 32 – 8 - 24 = 0;

r_п(6,7) = 48 – 44 - 4 = 0;             r_п(4,6) = 44 – 32 - 4 = 8.

Свободные резервы этих же работ равны:

r_с(0,1) = 4 – 0 - 4 = 0;                 r_c(2,4) = 32 – 20 - 12 = 0;

r_c(1,2) = 12 – 4 - 8 = 0;               r_c(4,5) = 36 – 32 - 4 = 0;

r_c(2,5) = 36 – 20 - 4 = 12;           r_c(1,3) = 8 – 4 - 4 = 0;

r_c(5,6) = 44 – 36 - 8 = 0;             r_c(3,4) = 32 – 8 - 24 = 0;

r_c(6,7) = 48 – 44 - 4 = 0;             r_c(4,6) = 44 – 32 - 4 = 8.

Полный путь, суммарная продолжительность работ на котором является максимальной, называется критическим, т.е. это самый длинный по времени путь в сетевом графике от исходного до завершающего события. Продолжительность критического пути определяет минимально необходимое время, объективно потребное для выполнения всего комплекса мероприятий, входящих в планируемый процесс. За время, меньшее времени критического пути, весь комплекс мероприятий свершиться не может. Поэтому любая задержка на работах критического пути увеличивает время выполнения всего процесса.

События, через которые проходит критический путь, называются критическими. Работы, входящие в состав критического пути, также называются критическими.

Задержка в выполнении работы (i, j) на величину ∆t_ij > r_п(i, j) приводит к задержке в наступлении завершающего события на величину ∆t_ij - r_п(i, j).

Задержка в выполнении работы на величину ∆t_ij ≤ r_п(i, j) вообще не повлияет ни на один срок, определенный данным сетевым графиком. Следовательно, у критических работ и полные, и свободные резервы времени равны нулю. Вообще говоря, равенство нулю полного резервного времени работы является необходимым и достаточным признаком того, что данная работа критическая. Напротив, свободный резерв времени может быть равным нулю и у некритических работ.

Таким образом, критический путь находится посредством определения работ, полные резервы времени которых равны нулю. В приведенном примере критическим путем является 0-1-3-4-5-6-7.

Длина критического пути для условий приведенного выше примера равна

T_кр = t_0,1 + t_1,3 + t_3,4 + t_4,5 + t_5,6 + t_6,7 = 48.

События и работы, лежащие не на критических путях (такие пути называются ненапряженными), обладают резервами времени. Выявление этих резервов наравне с определением критического пути составляет основное содержание анализа сетевой модели. С работ и путей, имеющих резервы времени, можно снять ресурсы и направить их на выполнение работ, лежащих на критических путях. Этим самым можно добиться сокращения сроков проведения критических работ, а, следовательно, и всей работы в целом, используя только внутренние резервы.

Полным резервом времени ненапряженного пути называется разница между его длиной и длиной критического пути. Полный резерв ненапряженного пути показывает, на сколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ этого пути без изменения срока всего процесса в целом. Однако при этом ненапряженный и критический пути не должны пересекаться. Если они пересекаются, то полный резерв времени определяется самым длительным участком напряженного пути, заключенным между соответствующими парами событий критического пути.

Адекватность сетевой модели отображаемому реальному процессу и соответственно оперативность руководства процессом во многом зависят от правильности временных оценок выполняемых работ. Если, например, продолжительность работ будет занижена, то это вызывает поспешность в подготовке всей работы в целом, а завышение сроков выполнения работ приводит к потере времени.

Для определения временных и других характеристик, необходимых для оценки длительности работ или расхода ресурсов, могут использоваться статистические данные, полученные опытным путем. Если такие данные отсутствуют, то исполнителями сетевого графика даются три оценки времени: оптимистическая (t_min), пессимистическая (t_max) и наиболее вероятная (t_нв).

Оптимистическая оценка – продолжительность работы в наиболее благоприятных условиях.

Пессимистическая оценка – продолжительность работы при самом неблагоприятном стечении обстоятельств.

Наиболее вероятная оценка – продолжительность работы, при условии, что не возникает никаких неожиданных трудностей.

На основании этих оценок вычисляются оценки t_ij и их дисперсии σ²_ij по следующим эмпирическим формулам [Зайденман И.А., Маргулис Д.Д., 1967]:

t_ij = (t_min + 4t_нв + t_max)/6            (6)

σ²_ij = [(t_max – t_min)/6]²                 (7)

В этом случае все расчеты проводятся так, как было рассмотрено выше. Затем рассчитываются вероятности того, что полученные параметры сетевой модели (ранние сроки, поздние сроки, резервы и т.д.) действительно будут находиться в тех или иных числовых границах. При этом вводится допущение, что продолжительность двух любых работ являются независимыми величинами, а величина t_ij, определенная формулой (6) принимается равной математическому ожиданию продолжительности данной работы (ij). Тогда математическое ожидание любого параметра сетевой модели, являющегося суммой величин вида t_ij, есть сумма математических ожиданий слагаемых, т.е. Σ t_ij (точнее это оценка снизу, так как все параметры сетевой модели носят, так сказать, экстремальный характер). Следовательно, дисперсия параметра будет Σσ²_ij.

Управление на основе сетевого графика осуществляют либо путем изменения общего времени выполнения работ сети, либо путем осуществления работ при ограниченных трудовых ресурсах. В первом случае управление заключается в изменении структуры сетевого графика для сокращения общей продолжительности работ критического пути с тем, чтобы T_кр ≤ T_д (где T_д – заданный (директивный) срок выполнения программы работ).

Существует несколько способов сокращения длины пути сетевого графика:

        уточнение временных оценок работ;

        перевод последовательных работ в параллельные;

        сокращение времени выполнения критических работ за счет совершенствования организации и технологии их производства;

        привлечение дополнительных ресурсов для выполнения критических работ;

        перераспределение ресурсов с некритических на критические работы, выполнение их в две или три смены.

При ограничении трудовых ресурсов управлении заключается в решении задач минимизации срока выполнения программы при заданных ресурсах. Оптимизируют исходный сетевой график, параметры которого и продолжительность критического пути рассчитаны на неограниченные ресурсы.

Все изменения, производимые на сетевом графике фиксируют, просчитывают на ЭВМ и находят оптимальный вариант.

Принятый оптимальный вариант сетевого графика является руководящим документом, по которому осуществляется контроль и управление ходом выполнения заданной программы работ. При этом главной задачей является обеспечение осуществления программы в предусмотренный графиком срок, несмотря на встречающиеся непредвиденные отклонения в сроках выполнения отдельных работ.

Эффективность управления по сетевым графикам во многом зависит от своевременного поступления достоверной информации о фактических сроках окончания работ, а также от правильного прогнозирования сроков выполнения последующих работ, находящихся на критических и подкритических путях.